まず、酢は、酢酸という酸で漂白作用があります。なぜ、一般に酸に漂白作用があるかは、酸化反応という高校で学ぶ内容になります。
米のとぎ汁はサポニンという成分が汚れを落とします。

サポニンについて、保護者のページ→ふしぎひろば→くまたろうはかせ→「Q5：パスタを茹でたときの茹で汁で、油汚れが落ちるのはなぜ？」もご覧ください。

大根には、たしかにジアスターゼというデンプンを分解する成分（酵素といいます。）が入っていますが、汚れの原因はデンプンではないので、グリコシダーゼという脂肪分解酵素や、ステラーゼというタンパク質分解酵素の作用によるものと考えられます。
このように大根には様々な消化酵素が含まれているので、お腹にいいと言われているのですね。